【人教版】高中数学选择性必修第一册 (A版): 从数轴到复平面：复数的代数定义与几何对映

Imagina que solo puedes moverte hacia adelante y atrás en una cuerda fina. Ese es el mundo del eje real. Si quisieras saltar hacia arriba, la cuerda no podría sostenerte. Introducirnúmeros complejoses como añadir una nueva dimensión a tu mundo. Cada número complejo de la forma $z = a + bi$ ya no es simplemente un punto en la recta numérica, sino una coordenada $(a, b)$ en el plano o un vector que parte desde el origen. Esta correspondencia perfecta entre "número" y "forma" es uno de los mayores avances en la historia de las matemáticas.

Definición algebraica y correspondencia geométrica de los números complejos

En el primer libro de Matemáticas Electivas Obligatorias, aprendimos sobre el sistema de números complejos. Los números complejos están compuestos porparte realyparte imaginariay su forma algebraica estándar es $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).

Para entender intuitivamente los números complejos, creamosel plano complejo:

el eje realcorresponde al eje $x$, representa la parte real del número complejo.
el eje imaginariocorresponde al eje $y$, representa la parte imaginaria del número complejo.
punto y número complejoel número complejo $z = a + bi$ tiene una correspondencia uno a uno con el punto $Z(a, b)$.
vector y número complejoel número complejo $z = a + bi$ tiene una correspondencia uno a uno con el vector plano $\vec{OZ}$.

El módulo del número complejo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ tiene como significado geométrico la distancia desde el punto $Z$ hasta el origen en el plano complejo. Mientras que $|z_1 - z_2|$ representa la distancia entre dos puntos.

$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$

PREGUNTA 1

En el plano complejo, $O$ es el origen y el vector $\vec{OA}$ corresponde al número complejo $2+i$. Si el punto $A$ tiene un punto simétrico respecto al eje real llamado punto $B$, encuentra el número complejo correspondiente al vector $\vec{OB}$.

$2-i$

$-2+i$

$-2-i$

$1+2i$

PREGUNTA 2

Siguiendo la pregunta anterior, si el punto $B$ tiene un punto simétrico respecto al eje imaginario llamado punto $C$, encuentra el número complejo correspondiente al punto $C$.

$2+i$

$-2-i$

$-2+i$

$2-i$

PREGUNTA 3

Si el número complejo $z$ tiene parte real positiva y parte imaginaria igual a $3$, ¿en qué tipo de figura se encuentra el punto correspondiente a $z$ en el plano complejo?

un rayo dentro del primer cuadrante

un segmento de línea sobre el eje imaginario

todo el primer cuadrante

una línea situada por encima del eje real

PREGUNTA 4

Calcula el resultado de la operación con números complejos: $(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$.

$-2+2i$

$-2-8i$

$0$

$-4+2i$

PREGUNTA 5

Dado que la parte imaginaria del número complejo $z$ es $\sqrt{3}$ y el módulo del vector correspondiente en el plano complejo es $2$, encuentra este número complejo $z$.

$1 + \sqrt{3}i$ o $-1 + \sqrt{3}i$

$1 + \sqrt{3}i$

$\pm 1 - \sqrt{3}i$

$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$

PREGUNTA 6

La condición necesaria y suficiente para que el producto de los números complejos $(a+bi)$ y $(c+di)$ sea un número real es:

$ad+bc=0$

$ac+bd=0$

$ac=bd$

$ad=bc$

PREGUNTA 7

Resuelve la ecuación $4x^2+9=0$ en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$.

$x = \pm \frac{3}{2}i$

$x = \pm \frac{9}{4}i$

$x = \frac{3}{2}i$

Sin solución

PREGUNTA 8

Si el número complejo $z$ tiene módulo $5$ y parte imaginaria $-4$, entonces el número complejo $z$ es:

$3-4i$ o $-3-4i$

$3-4i$

$\pm 3 + 4i$

$\pm 9 - 4i$

PREGUNTA 9

Encuentra la distancia entre los dos puntos correspondientes a los números complejos $z_1=8+5i$ y $z_2=4+2i$ en el plano complejo.

$5$

$\sqrt{13}$

$25$

$7$